Задача

Похоже, что не только ты и диод :) Уже сорок минут думаю...

Ой ой ой, интуитивно понятно, а с доказательством что-то ступор. Через поля что ли? Или есть какой простой способ...

Да, долго я думал, много вариантов перебрал, пока не опроверг.

Отбросим не нуждающийся в доказательстве тривиальный случай, когда среди n чисел существует хотя бы одно, кратное n.
Рассмотрим случай, когда все числа не делятся на n.
Тогда, каждое из чисел можно записать в виде: Zi = Qi*n+Ki, где Qi - частное от деления на n(любое натуральное число), а Ki - остаток от деления числа на n, т.е. положительное целое число от 1 до n-1.
Исследуем делимость частичных сумм таких чисел, которая записывается в виде
Сумма_от_1_до_n (Zi*Oi), где Oi - индикатор вхождения числа в частичную сумму (ноль или единица)
Понятно, что достаточно исследовать делимость Суммы (Ki*Oi).
Таким образом доказано, что исходное утверждение теоремы полностью эквивалентно следующему:
среди n целых положительных чисел, СТРОГО МЕНЬШИХ n, можно выбрать несколько так, что их сумма будет делиться на n.
Продолжайте, коллеги ...

Опровержение:
{1, 7, 0}
{-1, 1, 1}

Дополнение #4 прочитал.
Спасибо !

Любое n+b можно разделить на n
Если тебе нужно целое число так задовай вопрос подробнее