Как/чем мне смотреть, кто подключен к моему Wi-Fi роутеру в реальном времени?

Этот "адрес в браузере" не что иное, как подключение к Вашему роутеру по http протоколу. Как правило подключатся к нему возможно и по другим протоколам (все зависит от конкретного роутера, его Оси и настройки). В любом случае эта информация в полном объеме есть только у роутера, но никак не у Вашего компьютера. Варианты решения проблемы:
1) Ваш компьютер может увидеть "соседей" в сети. Такие опереции удобно проводить через программы, которые умеют "ловить" все приходящие пакеты, а не только адресованные Вам - снифферы.  Тысячи их и я уверен что есть такие, которые могут докладывать о новом устройстве в сети при помощи всплывающих сообщений.
2) Возможно организовать периодический автоматический "опрос" роутера. Этот пунк довольно обьемный по вариантам реализации в зависимости от Вашей Оси и Оси/настройках роутера. Такой метод существенно более точен.
3) Предпологая, что все это Вам нужно только для того, что бы заметить, когда кто-то "не хороший" подключается к Вашей сети могу посоветовать пресечь такие пыпытки в принципе. Кроме установки паролей и типов шифрования есть еще такая замечательная штука, как привязка/фильтрация по mac адресам.