Так можно писать и говорить? Про ЗАГС?

Если идете туда докУмент ложить - то да.

[1]
ЗАГС (Web)

Можно.
Только всё с большой буквы: ЗАГС

По новым правилам русского языка скоро можно будет говорить как хочешь...НО: на сегодняшний день ЗАГС он и есть ЗАГС. И по падежам не склоняется. Это аббевиатура.

Аббревиатуры же, состоящие из первых звуков, ведут себя по-разному. Некоторые из них приобретают родовую характеристику в соответствии с внешним видом слова. Так, слова БАМ, вуз, МИД, НЭП, загс и некоторые другие стали словами мужского рода и приобрели возможность склоняться по II склонению, как существительные типа дом. У других заканчивающихся на согласный аббревиатур со стержневым словом среднего и женского рода возможно колебание: они могут иметь родовую характеристику в соответствии с родом главного слова и при этом не склоняться (в наш-ей ЖЭК) или, склоняясь, употребляться как слова мужского рода (в наш-ем ЖЭКе). Аббревиатуры, оканчивающиеся на гласный звук, не склоняются и преимущественно относятся к среднему роду (наш-е РОНО — районный отдел народного образования).
В некоторых документах пишут в ЗАГСе,у ЗАГСа,но в русском языке допускается написание просто слова "загс",как существительное мужского рода.