вычислить интегралы; результаты интегрирования проверить дифференцированием

1) (x^3 dx) / (x^8+1) = d(x^4)/(4(x^8+1))=(1/4)*arctg ((x^4))+C (не забудьте C!)
Проверка (берём производную): ((1/4)*arctg((x^4))+C)' = (1/4)*(1/((x^4)^2+1))*(4x^3)=(x^3)/(x^8+1) (C убираем: её производная равна нулю)
2)Считаем по частям (int -это интеграл): int(e^x*cos(x) dx)=int( e^x d(sin x) ) = e^x*sin(x) - int(e^x sin(x)) = e^x*sin(x) -          - (int(e^xd(-cos(x))))= e^x*sin(x)+e^x*cos(x) - int(e^x*cos(x) dx)
Получили уравнение int(e^x*cos(x) dx)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x) - int(e^x*cos(x) dx)
Решая его, получаем int(e^x*cos(x) dx)=(e^x*sin(x)+e^x*cos(x))/2
3) В последнем задании надо вынести 1/2 за знак интеграла, в знаменателе дроби выделить полный квадрат, получается вот так: int( dx / (2x^2- 2x-1)) =(1/2) int(d(x-(1/2))/((x-(1/2))^2)-(3/4))
Сделайте замену (x-(1/2))=t, a^2=3/4 (т.е a=sqrt(3)/2)
Тогда интеграл примет вид (1/2)*int(dt/(t^2-a^2)) - табличный, есть во всех справочниках, дальше сделайте обратную замену.