Эллипс. Параметрическое уравнение: x=9*cos(t) y=8*sin(t); t[0,2*Pi]. Площадь? Длина дуги?

inquisitive, 363 просмотра

Примечание:
Интересны не просто формулы, в которые надо подставить 9 b 8, а вывод конечной формулы из исходных данных с обоснованием. Задача из темы "Приложения интегралов".

Ответы:

leon38

сразу видно что это эллипс с полуосями А=9 и В=8.
площ эллипса равна ПИ*А*В примерно 220 единиц.
длина окружн эллипса равна ПИ*(А+В) /проверите по справочнику формулу давно не считал..../
В терминах дифференц исчисления: элемент площади dS=R*dT*0.5 где T -полярный угол
dS=sqrt(A*A*cos^2(T)+B*B*SIN^2(T) ) *dT*0.5
интегрируя по dT в пределах от 0 до 2*ПИ получим площ эллипса
подинтегральное выражение приводится к виду K1*sqrt(1+K2*SIN^2(T) ) выраж Ф
итого
S= К* интеграл от 0 до 2ПИ от выражения Ф

Иван Козначеев

моё решение с интегралами Вы уже видели.
Площадь эллипса действительно равна πab (это следует из формулы площади окружности и поведения площади при растяжении фигуры вдоль одной оси)
А вот с длиной не всё так просто, нет формулы длины эллипса, кроме как через интеграл или выражающиеся через него функции. Это связано с тем, что длина кривой линии при растяжении фигуры вдоль оси ведёт себя более сложным образом, чем площадь.

15 лет назад

RPI.su - самая большая русскоязычная база вопросов и ответов. Наш проект был реализован как продолжение популярного сервиса otvety.google.ru, который был закрыт и удален 30 апреля 2015 года. Мы решили воскресить полезный сервис Ответы Гугл, чтобы любой человек смог публично узнать ответ на свой вопрос у интернет сообщества.

Все вопросы, добавленные на сайт ответов Google, мы скопировали и сохранили здесь. Имена старых пользователей также отображены в том виде, в котором они существовали ранее. Только нужно заново пройти регистрацию, чтобы иметь возможность задавать вопросы, или отвечать другим.

Чтобы связаться с нами по любому вопросу О САЙТЕ (реклама, сотрудничество, отзыв о сервисе), пишите на почту [email protected]. Только все общие вопросы размещайте на сайте, на них ответ по почте не предоставляется.