m=5
n=3
других, удовлеворяющих условию m,n>=3 вроде нет
---------------
полчаса выписывал ход мыслей, а когда нажал "Добавить ответ" выдало "ОШИБКА"
а потом на повторение всей галиматьи уже не было времени, только на краткий ответ.
a^m+a-1 =k(a^n+a^2-1)
просто константой k быть не может
оно должно быть полиномом, причём старшая степень полинома m-n
При любом другом показателе степени, в том числе 0 (k = const) мы имеем уравнение которое имеет корней не больше, чем максимальный показатель степени, а нам требуется бесконечно много значений а. Что вполне обеспечивается, если выражение является не уравнением, а тождеством
надо чтобы слева и справа все члены совпадали
для начала избавимся от a^m и единицы
k = a^(m-n) + p +1 (p тоже полином, но пока его расписывать не буду)
a^m+a-1= (a^(m-n) +p+1)(a^n+a^2-1)
a^m+a-1= a^m + a^(m+2-n ) - a^(m-n) + p(a^n + a^2 - 1) + a^n + a^2 - 1
чтобы не загромождать писанину уже полученными членами, можем перейти к тождеству вида
a = a^(m+2-n ) - a^(m-n) + p(a^n + a^2 - 1) + a^n + a^2
опять из тех же соображений самая высокая степень в полиноме p должна быть m+2 - 2 n, но если и дальше будем в том же духе, то зациклимся
а вот какой будет самая низкая?
Нулевая не может: опять появится константа.
Первая при умножении на 1 даст -а
Но справа у нас +а, значит за р мы можем взять просто -a, чтобы слева и справа было по +а, а остальные члены справа должны будем посокращать в 0
a = a^(m+2-n ) - a^(m-n) - a^(n+1) - a^3 + a + a^n + a^2
три члена у нас с минусом (a^(m-n) ; a^(n+1) ; a^3), три с плюсом (a^(m+2-n) ; a^n ; a^2)
понятно, что a^2 и a^3 дуг с другом не паруются и нельзя спарить n+1 и 2, так как n больше трёх
Однозначно зарисовалось одно уравнение m - n = 2.
Остались без пар отрицательные a^(n+1) ; a^3 и положительные a^(m+2-n) ; a^n
Из m - n = 2 следует m+2 - n = 4 , с кубом не спарить, остаётся то что остаётся
n+1 = 4
n=3
m=5
=================
тут иногда тоже можно вернуть, но не всегда
может и к лучшему, что стёрлось
сейчас более внятное объяснение дал